söka efter mörk foton mörk materia i LIGO O1-data

söka efter mörk foton mörk materia i LIGO O1-data

uppskatta DPDM-inducerade effekter

genom virialisering har DPDM-partiklar i vår galax en typisk hastighet runt \({v} _ {0} \ equiv 1{0}^{-3}\) av ljusets hastighet, och därmed är de mycket icke-relativistiska. Den totala energin hos en DM-partikel är då summan av dess massenergi och kinetiska energi, dvs \({m}_{{\rm{a}}}(1 + {v}_{0}^{2}/2)\). Här och i det följande använder vi naturliga enheter, dvs \(c = \hslash =1\). Därför är oscillationsfrekvensen för DP-fältet ungefär en konstant, \(\omega \ simeq {m}_{{\rm{a}}}\), med \(o(1{0}^{-6})\) avvikelser.

därför kan DP-fältet inom en liten tidsperiod och rumslig separation behandlas ungefär som en planvåg, dvs.,

$${A} _ {\mu }\simeq {a}_{\mu ,0} \ cos .$$
(1)

här är \({A}_{\mu ,0}\) amplituden för DP-fältet och \(\theta\) är en slumpmässig fas. DP-fältstyrkan kan enkelt skrivas som \({F}_{\mu \nu }={\partial }_{\mu }{a}_{\nu }-{\partial }_{\nu }{a}_{\mu }\). Vi väljer Lorenz-mätaren, \({\partial }^{\mu }{a}_{\mu }=0\), i det som följer. I den icke-relativistiska gränsen är det mörka elektriska fältet mycket starkare än det mörka magnetfältet, och \({A}_{t}\) är försumbar i förhållande till \({\bf{a}}\). Storleken på DP-fältet kan bestämmas av DM – energitätheten, dvs \ (|{{\bf{a}}}_{0}/\simeq \sqrt{2{\rho }_{{\rm{DM}}}} / {m}_{{\rm{a}}}\).

I Ekv. (1) försummar vi det kinetiska energibidraget till oscillationsfrekvensen. Vi ställer också in polarisations-och utbredningsvektorerna, dvs \({{\bf{a}}}_{0}\) och \({\bf{k}}\), för att vara konstanta vektorer. Denna approximation är endast giltig när observationen tas inom koherensregionen, dvs \({t} _ {{\rm {obs}}}\ <\ {t}_{{\rm{coh}}} \ simeq \ frac{4 \ pi }{{m}_{{\rm{a}}}{v} _ {{\rm{vir}}}^{2}}\) och \({l}_{{\rm{obs}}}\ <\ {l}_{{\rm{coh}}}\simeq \ frac{2 \ pi }{{m} _ {{\rm{a}}} {v}_{{\rm{vir}}}}\). Till exempel, om DP-fältet svänger vid 100 Hz, är koherenstiden bara \(1{0}^{4}\) s, mycket kortare än den totala observationstiden. För att modellera dpdm-fältet under en tid som är mycket längre än koherenstiden simulerar vi dpdm-fältet genom att linjärt lägga till många planvågor som förökar sig i slumpmässigt samplade riktningar. Mer information ges i avsnittet” metoder ” nedan.

från dpdm-bakgrundsfältet \({\bf{a}} (t, {{\bf{x}}}_{i})\) kan man härleda accelerationen som induceras av DPDM på varje testobjekt, märkt med index \(i\). Detta kan skrivas som:

$${{\bf{a}}}_{i}(t,{{\bf{x}}}_{i})\simeq \epsilon e\frac{{q}_{{\rm{D}},jag}}{{M}_{jag}}{\partial }_{t}{\bf{En}}(t,{{\bf{x}}}_{i}).$$
(2)

här använder vi approximationen \({\bf{e}}\simeq {\partial }_{t}{\bf{a}} (t,{{\bf{x}}}_{i})\) för det mörka elektriska fältet. \({q}_{{\rm{d}}, i} / {M}_{i}\) är förhållandet mellan laddning och massa för testobjektet i LIGO. Behandla en DP som gauge boson av \(U {(1)}_{{\rm{B}}}\), och med tanke på att LIGO-speglarna (testmassorna) huvudsakligen är kiseldioxid, \({q}_{{\rm{d}},i}/{m}_{i}=1/{\rm{GeV}}\). Vi noterar att resultaten från ref. 17 införa mycket starka begränsningar på det uppmätta \(U{(1)}_{{\rm{B}}}\) scenariot, på grund av gauge anomali. Resultaten som härrör från dessa papper bygger emellertid på ett antagande om hur man bäddar in modellen i en fullständig teori vid hög energi för att avbryta \(U{(1)}_{{\rm{B}}}\) anomalier. Förlängning av elektrosvag symmetri Brytande sektor eller annan anomali annullering mekanism kan undvika sådana allvarliga begränsningar. Om man tar den modelloberoende begränsningen på en anomalös mätsymmetri, måste nya partiklar läggas till i energiskala \(O (\frac{4\pi {m}_{{\rm{a}}}}{\epsilon E})\), vilket ger \(O ({\rm{TeV}})\) för det parameterutrymme vi är intresserade av. Eftersom de nödvändiga nya partiklarna endast bär elektrosvaga laddningar, är de säkra från olika collidersökningar. Vi märker DP-baryon-kopplingen som \(\epsilon e\) där\ (e\) är\(U {(1)}_{{\rm{EM}}}\) kopplingskonstant. Vi betonar att vi väljer DP att vara en\(U {(1)}_{{\rm{B}}}\) gauge boson som riktmärkesmodell. Samma analysstrategi som presenteras i denna studie kan tillämpas direkt på många andra scenarier, såsom A \(U{(1)}_{{\rm{B}}-{\rm{L}}}\) gauge boson eller skalär fält, som kopplar genom Yukawa-interaktioner. Mer detaljer om olika modeller, liksom subtiliteter när observationstiden är längre än koherenstid, kommer att beskrivas i det framtida arbetet.

Signal-brusförhållande (SNR) uppskattning

vi approximerar dpdm-fältet som en planvåg inom en koherensregion. För ett DP-fält som oscillerar vid frekvens\ (O (100)\) Hz är koherenslängden \(O(1{0}^{9}\ {\rm{m}})\), mycket större än separationen mellan de två LIGO GW-detektorerna vid Hanford och Livingston. Således upplever dessa två GW-detektorer ett nästan identiskt dpdm-fält, vilket inducerar starkt korrelerade svar. Att utnyttja korrelationen minskar dramatiskt bakgrunden i analysen.

dpdm-signalen är mycket smalband, vilket gör Fourieranalys naturlig. Vi beräknar först diskreta Fouriertransformer (DFT) från tidsdomändata. Den totala observationstiden är uppdelad i mindre sammanhängande segment, var och en av varaktighet \({T}_{{\rm{DFT}}}\), med en total observationstid \({T}_{{\rm{obs}}}={n}_{{\rm{DFT}}}{t}_{{\rm{DFT}}}\). Ange värdet på den komplexa DFT-koefficienten för två interferometrar 1 och 2, DFT \(i\) och frekvensbehållaren \(j\) för att vara \({z}_{1(2),ij}\). De ensidiga effektspektraldensiteterna (PSD) för två interferometrar är relaterade till raw-krafterna som \({{\rm{PSD}}}_{1(2),ij} = 2{P}_{1(2),ij}/{T}_{{\rm{DFT}}}\). \({P} _ {1 (2), ij}\) anses vara förväntningsvärdena för \ (/{z}_{1(2),ij}{| }^{2}\), som uppskattat från angränsande, icke-signalfrekvensfack, förutsatt lokalt platt brus (med en 50-bin löpande medianuppskattning).

till en utmärkt approximation är bruset i de två LIGO-interferometrarna statistiskt oberoende, med undantag för speciella mycket smala band med elektroniska linjestörningar18, som utesluts från analysen. Detaljerade beskrivningar av bredband LIGO buller bidrag kan hittas i ref. 19, inklusive diskussion om potentiella miljöföroreningar som kan korreleras mellan de två LIGO-detektorerna, men ingen av dem skulle efterlikna en DPDM-signal. Den normaliserade signalstyrkan med korskorrelation av alla samtidiga DFT i observationstiden kan skrivas som

$${S} _ {j}= \ frac{1}{{n}_{{\rm{DFT}}} \ summa _{i=1}^{{n}_{{\rm{DFT}}}} \ frac{{z}_{1,ij}{z}_{2,ij}^{* }}{{p}_{1,ij}{p}_{2,ij}}.$$
(3)

i avsaknad av en signal är förväntningsvärdet noll och variansen hos de verkliga och imaginära delarna är

$${\sigma } _ {j}^{2}= \ frac{1}{{n}_{{\rm{DFT}}} {\vänster \ langle\frac{1}{2{p}_{1,j}{p}_{2,j}}\höger\rangle }_{{n}_{{\rm{DFT}}}},$$
(4)

där \({\langle\ rangle} _{{n}_{{\rm{DFT}}}}\) anger ett medelvärde över\ ({n}_{{\RM {DFT}}}\) DFT, som kan ha långsamt varierande icke-stationäritet. SNR kan definieras av

$${{\rm{SNR}}} _ {j} \ equiv \ frac{{S}_{j}} {{\sigma } _ {j}}.$$
(5)

med hänsyn till den lilla separationen mellan interferometrarna i förhållande till DP-koherenslängden och deras relativa orientering (ungefärlig 90-graders rotation av en interferometers armar projicerade på den andra interferometerns plan) förväntar vi oss att SNR\({}_{j}\) för ett starkt DPDM-fält är primärt verkligt och negativt.

effektivitetsfaktor

för att använda de observerade verkliga(SNR) värdena för att sätta gränser för DPDM-koppling som en funktion av frekvensen måste man korrigera för signalkraften förlorad från binning. Den föreslagna nominella binning föreslås i ref. 15 är \(\Delta f / f=1{0}^{-6}\), baserat på en Maxwell hastighetsfördelning. Bin-storleken i frekvensutrymme ställs in av \({T} _ {{\rm{DFT}}}\), dvs \(\Delta f=1 / {T}_{{\rm{DFT}}}\), vilket är optimalt vid endast \({f}_{{\rm {opt}}} \ simeq 1{0}^{6}/{T}_{{\rm{DFT}}}\). För en frekvens högre än \({f}_{{\rm{opt}}}\) är den relativa frekvensbinningen finare, vilket innebär förlust av signalstyrka i mätningar med en bin. Vid frekvenser lägre än \({f}_{{\rm{opt}}}\) är den relativa frekvensbinningen grovare, vilket innebär full infångning av signalkraften men till kostnaden för onödigt ökat brus. Vi noterar att det är möjligt att dm-hastighetsfördelningen avviker från Maxwell-fördelningen med en\ (O (1)\) faktor, t.ex. refs. 20,21. Effekten är dock liten, eftersom den enda bin-sökningen som används här beror på den integrerade effekten i en frekvensfack och inte så mycket på dess form.

I Fig. 1, Vi visar dpdm-signalens effektspektrum som en funktion av frekvens, där \({f}_{0}={m}_{{\rm{a}}}/2\pi\). Vi väljer att normalisera x-axeln med den inneboende signalbredden, bestämd av den typiska kinetiska energin hos DM-partiklar. I denna beräkning inkluderar vi Jordrotationseffekten. Utan den är signalen PSD proportionell mot \(vf(v)\) där \(f (v)\) är Maxwell-distributionen. Jordens rotation breddar vår signal med \(\Delta f \ ca 2{f}_{{\rm{e}}}\). Olika val av \({f}_{0}\) resulterar i något olika deformationer efter att rotationen har inkluderats, men förändringarna är försumbara i frekvensregimen av intresse. En analytisk förståelse av PSD kommer att presenteras i det framtida arbetet.

Fig. 1: ett exempel på mörk foton mörk materia signal effektspektrum och motsvarande detektor känslighet.
figur1

den mörka fotonen mörk materia (DPDM) signalens effektspektrum visas i termer av karakteristiska stammar \({h}_{{\rm{C}}}\) (röd), med \(U{(1)}_{{\rm{B}}}\) kopplingsparameter \({\epsilon }^{2}=1{0}^{-41}\), dpdm oscillationsfrekvens \({f}_{0} = 500\) Hz, och typisk hastighet för DPDM \({v}_{0}=1{0}^{-3}\) av ljusets hastighet. Den avancerade LIGO-designkänsligheten i ett litet frekvensfönster är ungefär platt, vilket visas som den svarta streckade linjen.

effektspektrumet från numerisk simulering används för att empiriskt bestämma de kraftfraktioner som faller i en enda fast\ (\Delta f/f\) bin, där bingränser systematiskt varieras över det tillåtna intervallet. Figur 2 visar de resulterande effektivitetsvinsterna (effektfraktioner) för \({t}_{{\rm{DFT}}}\) inställd på 1800 s. den röda prickade kurvan visar det bästa fallet, för vilket bin-gränsen är optimal. Den blå streckade kurvan visar det värsta fallet, vilket nödvändigtvis närmar sig \(50 \%\) för grov binning (låg frekvens), medan den gröna fasta kurvan visar den genomsnittliga maximala effektiviteten över alla bingränsval. En passform till den gröna fasta kurvan används för att härleda övre gränser för dpdm-koppling.

Fig. 2: Signal effekt single-bin detektionseffektivitet som en funktion av relativ frekvensupplösning för en fast koherenstid på 1800 s.
figur2

den övre (röda) kurvan är för ett optimalt bin-gränsval (a priori okänt) för en given signal. Den nedre (blå) kurvan visar det värsta fallet för det minst optimala gränsvalet. Den mellersta (gröna) kurvan visar ett genomsnitt över slumpmässigt valda gränsval.

dataval och analys

stamdata som användes i denna analys laddades ner från webbplatsen Gravitational Wave Open Science Center (GWOSC) 22 och transformerades för att skapa 1786 1800-s sammanfallande DFT från L1-och H1-interferometrarna. GWOSC – datamängderna utesluter korta perioder under vilka den totala datakvaliteten är dålig. Valet av koherenstid i denna första dpdm-sökning är något godtyckligt men tillät bekväm jämförelse av spektrallinjeartefakter observerade med de som rapporterats från 1800-s DFT i LIGO kontinuerliga GW-sökningar, för vilka 1800 s är en vanlig DFT-varaktighet vald. En kortare koherenstid skulle vara mer optimal vid frekvenser över \(\sim\! 500\) Hz för denna analys av enstaka bin. I princip skulle en längre tid vara mer optimal för lägre frekvenser, men i praktiken leder sporadiska avbrott av interferometeroperationer under datatagning till betydande livstidsförlust för DFT som kräver mycket långa sammanhängande perioder av sammanfallande Hanford–Livingston-operationer.

sökningen efter detekteringar och inställningen av övre gränser i frånvaro av detektering baseras på ”höga” värden för detektionsstatistiken (Eq. (5)). Specifikt letar vi efter stora negativa verkliga värden för SNR. Eftersom vi söker över \(\sim\! 4\) miljoner DFT-fack i bandet 10-2000 Hz, måste vi korrigera för en stor statistisk provfaktor vid bedömningen av vilket SNR-värde som anses vara ”signifikant.”Vi väljer en nominell signal kandidat val av SNR \(< -\! 5.8\), motsvarande en \(\sim \!1\)% falsklarm Sannolikhet, förutsatt Gaussisk brus. I praktiken är bruset i vissa frekvensband inte riktigt Gaussiskt, vilket leder till överskott i stort SNR. För att bedöma svårighetsgraden av denna effekt definierar och undersöker vi också kontrollband (”frekvensfördröjningar”) där en DFT-frekvensbehållare i en interferometer jämförs med en uppsättning offsetfack från den andra interferometern så att en sann DPDM-signal inte skulle bidra till en icke-noll korskorrelation men för vilken singelinterferometerartefakter eller bredbandskorrelerade artefakter leder till icke-nollkorrelation. Denna frekvensfördröjningsmetod är analog med tidsfördröjningsmetoden som används i övergående GW-analys. Specifikt väljer vi 10 lags av (\(-50\), \(-40\), …, \(-10\), \(+10\), …,\ (+50\)) frekvensbehållare förskjuter för att bedöma den icke-gaussiska bakgrunden från dessa instrumentella artefakter. För att undvika kontaminering av både signal-och kontrollband från kända artefakter utesluter vi från analysen något band inom \(\sim\! 0.056\) Hz av en smal störning som anges i ref. 18, där den extra vetomarginalen är att minska känsligheten för spektralläckage från starka linjer. Vi utesluter också bandet 331.3 – 331.9 Hz, för vilka extremt höga smala kalibreringsexcitationer i de två interferometrarna leder till signifikant överlappande spektralläckage och därmed icke-slumpmässig korrelation.

Figur 3 visar fördelningarna av de verkliga och imaginära delarna av SNR (Eq. (5)) för både signalfack (”zero lag”) i magenta och de släpade facken i svart. Fördelningarna följer ganska nära den ideala gaussiska kurvan som visas, förutom ett litet överskott som syns i svansarna bortom \ (/{\rm{SNR}}| \ > \ 5\) (Observera att det finns \(\sim\! 10\) gånger så många fördröjda fack som signalfack i graferna). De enda signalfacken med \(/{\rm{SNR}}| \ > \ 5.8\) uppstår från kända kontinuerliga våg ”hårdvaruinjektioner” som används i detektorresponsvalidering, för vilken den komplexa SNR kan ha en godtycklig fas i korskorrelationen som beror på den simulerade källfrekvensen och riktningen. En undersökning utfördes av alla andra SNR-avvikare (10) med reella eller imaginära värden med magnituder >5. I alla utom tre fall visade fördröjda fack i angränsande fack inom 0,2 Hz av signalfacket förhöjt brus, definierat av en SNR-storlek >4, vilket tyder på icke-Gaussisk kontaminering. Den gaussiska brusförväntningen för detta intervall av subthreshold outlier magnitud (verklig eller imaginär) är 4,1 händelser, i överensstämmelse med observation i rena band.

Fig. 3: fördelningar av de verkliga och imaginära delarna av signal-brusförhållandet.
figur3

signal-brusförhållandet (SNR) för signalkorgarna (”zero lag”) är märkta i magenta och de fördröjda (kontroll) rutorna i svart, tillsammans med den ideala gaussiska förväntan i grönt.

eftersom inga signifikanta kandidater hittades fastställdes övre gränser. I framtida sökningar, om betydande kandidater dyker upp, kommer det att vara avgörande att bedöma deras överensstämmelse med instrumentella artefakter. Ett enkelt tillvägagångssätt är att öka antalet undersökta kontrollfack per kandidat för att bedöma bättre potentiell icke-Gaussisk singelinterferometerförorening och bredbandskorrelerade artefakter. En större oro skulle vara en mycket smalbandskorrelerad störning, såsom från identiska elektroniska instrument vid varje observatorium som skapar en skarp spektrallinje genom elektrisk ström drar in nätaggregat som påverkar interferometerkontroller. Detaljerad undersökning med hjälp av hjälpinstrument och miljökanaler skulle vara motiverad för att utesluta sådan störning.

nya begränsningar från LIGO O1-data

våra huvudresultat presenteras i Fig. 4. Vi visar de härledda \ (95\%\) konfidensnivå övre gränserna för parametern \({\epsilon }^{2}\) för DP–baryon koppling, som en funktion av dpdm oscillerande frekvens. Det breda röda bandet visar intervallet av övre gränser erhållna med \ (1/1800\) Hz binning, med användning av den uppmätta verkliga delen av SNR–detekteringsstatistiken definierad nedan och Feldman-Cousins (FC) formalism23 och efter applicering av en effektivitetskorrigering som diskuteras nedan. Den gula kurvan visar den förväntade övre gränsen för en genomsnittlig uppmätt verklig(SNR) = 0, med samma FC-formalism och effektivitetskorrigering. Den mörkblå kurvan visar en mer optimal övre gräns som förväntas när DFT binning justeras med frekvens för att upprätthålla \(\Delta f / f=1{0}^{-6}\) för samma 893-timmars observationstid, för samma effektivitetskorrigering och för en genomsnittlig detektorkänslighet som är lika med den i analysen. De gula och mörkblå kurvorna överensstämmer väl med varandra vid cirka 500 Hz, där \(1/1800\) Hz är det optimala valet av binstorleken. Den genomsnittliga uppnådda övre gränsen är i allmänhet sämre än den optimala känsligheten, eftersom med fast binstorlek vid \(1/1800\) Hz ingår överskott av brus vid låg frekvens och viss signalkraft förloras vid hög frekvens. Den streckade kurvan visar övre gränser härledda från E-gruppen för tvätt, baserat på Ekvivalensprincip tester med hjälp av en torsionsbalans24,25. Med tanke på LIGO O1-data, under antagandet att DP utgör all DM, har vi redan förbättrat befintliga gränser i ett massfönster runt \({M}_{{\rm{a}}} \sim 4\; \ times\,1{0}^{-13}\) eV.

Fig. 4: Härledd \ (95\%\) konfidensnivå övre gränser för kopplingsparametern \({\epsilon }^{2}\) för mörk fotonbaryonkoppling.
figur4

det breda röda bandet visar de faktiska övre gränserna med \ (1/1800\) Hz binning. Den gula kurvan visar den förväntade övre gränsen för en genomsnittlig uppmätt real (SNR) = 0. Den mörkblå kurvan visar den” optimala ” övre gränsen som förväntas när den diskreta Fouriertransformen (DFT) Binningen justeras med frekvens för att upprätthålla \(\Delta f / f=1{0}^{-6}\) för samma 893-timmars observationstid. Magenta-kurvan visar den” optimala”övre gränsen som förväntas för en 2-årig, \(100 \%\)-livetime-körning vid Advanced LIGO design sensitivity (”O4-O5”). Den streckade kurvan visar övre gränser härledda från e-Tvättgruppen24, 25. Detta är ett femte kraftexperiment, vars begränsning inte är beroende av mörk foton (DP) som mörk materia (DM). De stora spikarna av röda och blå kurvor, överlagda ovanpå varandra, induceras av kända ljudkällor, såsom vibrationer av spegelupphängningsfibrer.

framtida sökningar i mer känsliga data kommer att söka djupare in i en outforskad \({\epsilon }^{2}\)–\({m}_{{\rm{a}}}\) parameterutrymme. Förutsatt att ingen upptäckt och en försumbar sann GW-stokastisk bakgrund visar magenta-kurvan den ”optimala”övre gränsen som förväntas för en 2-årig, \(100 \%\)-livetime-körning vid avancerad LIGO-designkänslighet (”O4-O5”). Denna gräns ser jämnare ut, eftersom den använder en designkänslighetskurva som endast visar grundläggande bruskällor, medan den blå kurvan innehåller ytterligare, icke-grundläggande brusartefakter som ännu inte har mildrats i LIGO-detektorns idrifttagning, såsom nätförorening vid 60 Hz och övertoner och miljövibrationer. Simuleringarna som diskuteras nedan avslöjade ett fel med en faktor 4 i \({\epsilon }^{2}\)–\({m}_{{\rm{a}}}\) känslighetsdiagram i ref. 15. Detta fel har korrigerats i den aktuella studien. När GW-detektorer blir känsligare i framtiden förväntar man sig att en stokastisk GW-bakgrund från kompakta binära sammanslagningar kommer att dyka upp så småningom, med en integrerad bredbandsstokastisk signal som kanske kan detekteras så tidigt som O4-O5 run26. Ändå kommer den stokastiska GW-stamkraften från fusioner i en enda dpdm-sökfack att förbli försumbar under de kommande åren.

införandet av ett globalt nätverk av detektorer, såsom Virgo, KAGRA och LIGO-Indien, förbättrar dpdm-sökkänsligheten i princip. Graden av förbättring beror emellertid på de relativa inriktningarna mellan dessa detektorer såväl som deras känslighet. Virgo-detektorn är för närvarande mindre känslig än de två LIGO-detektorerna. Dessutom är dess orientering inte väl anpassad till LIGO-detektorerna. Framtida tredje generationens detektorer, som Einstein Telescope och Cosmic Explorer, kommer att ha mycket lägre ljud, vilket möjliggör ännu känsligare dpdm-sökningar.

Lämna ett svar

Din e-postadress kommer inte publiceras.